导数自学笔记
开导！
导数的概念
瞬时变化率与导数
$\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}$ 的真正含义：$\Delta t$ 很小，比任何一个指定的正数都来的小。
类比平均速度，我们给出瞬时速度的定义： $v = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}$
把以上定义推广到函数上，我们记 $y = f(x)$，那么我们可以算出 $y$ 对 $x$ 的平均变化率 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$。
而相对应的，我们可以提出 $y$ 在 $x_0$ 处的瞬时变化率 $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$。
那么导数是什么呢？我们定义
$$
f^{\prime}(x_0) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
$$
所以得到第一个定义：函数在某一个点的导数，就是函数在这一个点的瞬时变化率。
例1：求 $f(x) = x^2$ 在 $x = 3$ 的时候的导数。
$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(3) &= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(3 + \Delta x) - f(3)}{\Delta x}\
&= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{(3 + \Delta x)^2 - 3^2}{\Delta x} \
&= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} 6 + \Delta x \
&= 6
\end{aligned}
$$
回顾上文，因为 $\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}$ 小到可以忽略不计，所以最后答案是 $6$
结合图像理解，我们的平均变化率本质上是函数图像的割线的斜率，而瞬时变化率代表的是函数图像在这一点切线的斜率。我们很容易求出切线的方程。
如何求导？
导函数是比导数更强的，所以我们直接研究导函数的求导方法。
导函数的概念
让我们更抽象一点，我们不再固定某个特定的 $x_0$，而是让 $x_0$ 同样成为一个变量，我们发现导数和自变量同样是一一对应的。这就提出我们的新概念：导函数。
我们定义 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$
$$
f^{\prime}(x) = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
$$
在实际教学中，我们并不会过多区分“导数”和“导函数”这两个概念。一般我们会说对某个函数求它的导数，这个时候实际上是在求它的导函数。但是我们心里要清楚，导数是一个数，导函数是一个函数，这俩是有本质差别的。本文会尽量严谨说明导数和导函数这两个概念。
导数恒等式
我们讨论经典的几类函数。
$f(x) = c \rightarrow f^{\prime}(x)= 0$
$f(x) =x \rightarrow f^{\prime}(x)= 1$
$f(x) = x^2 \rightarrow f^{\prime}(x)= 2x$
$f(x) = x^3\rightarrow f^{\prime}(x)= 3x^2$
我们直接采用定义法进行推导：
$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(x) &= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^3 - x^3}{\Delta x}\
&= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} 3x^2 + 3x\Delta x+\Delta x^2 \
&= 3x^2
\end{aligned}
$$$f(x) = x^n \rightarrow f^{\prime}(x) = \binom{1}{n}x^{n-1} = nx^{n-1}$
我们考虑上边的推导过程带来的启发，我们只要考虑 $(x+\Delta x)^n$ 展开后的第二项里 $x$ 的次数与系数，那么显然根据二项式定理我们就有 $f^{\prime}(x) = \binom{1}{n}x^{n-1} = nx^{n-1}$.比较口诀的东西就是：把指数打下来，上边减一。
这也启发我们处理高次函数的时候一种方法是对数，一种是导数。
$f(x) = x^{\alpha} \rightarrow f^{\prime}(x) = \binom{1}{n}x^{\alpha-1} = nx^{\alpha-1}(\alpha \in \R)$
是上边的推广。
$f(x) = \sin x \rightarrow f^{\prime}(x) = \cos x$
$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(x) &= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\sin(x+\Delta x) - \sin x}{\Delta x}\
&= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\sin x(\cos\Delta x -1) + \cos x \sin \Delta x}{\Delta x}\
\end{aligned}
$$
当 $\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}$ 时候， $\cos \Delta x \rightarrow 1,\sin\Delta x \rightarrow 0$ .所以我们有
$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(x) &= \cos x\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\
\end{aligned}
$$理论上来说，我们有 $ \frac{\sin\Delta x}{\Delta x} = 1$，但是为什么呢？这里就需要高等数学的一些知识了。
前面的区域，以后再来探索吧！
$f(x) = \cos x \rightarrow f^{\prime}(x) = -\sin(x)$
$f(x) = e^x \rightarrow f^{\prime}(x) = e^x$
$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(x) &= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{e^{x+\Delta x} - e^x}{\Delta x}\
&= e^x \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}\
\end{aligned}
$$前面的区域，以后再来探索吧！
$f(x) = \ln(x) \rightarrow f^{\prime}(x) = \frac{1}{x}$
前面的区域，以后再来探索吧！
复合函数求导
只需要记住公式就无敌了！
首先我们定义一个方便我们书写的符号，我们定义 $y^{\prime}x= \lim\limits{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{dx} $
那么大的要来了！
$$
y^{\prime}_x = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}
$$
这就是复合函数的求导公式。我们思考一下 $\frac{dy}{du}$ 的定义，实际上它是表示的是 $y$ 对于 $u$ 的导数。$\frac{du}{dx}$ 同理。
所以我们就有
$$
y^{\prime}_x = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = y_u^{\prime}\times u_x^{\prime}
$$
例2：求 $f(x) = \sin 2x$ 的导函数。
$$
\because y = \sin u ,u = 2x\
\begin{aligned}
\therefore y_x^{\prime} &= y_u^{\prime} \times u_x^\prime \
&= \cos u \times 2\
&= 2\cos 2x
\end{aligned}
$$
例3：求 $f(x) = (2x+1)^6$ 的导函数
$$
\because y = u^6 ,u = 2x+1\
\begin{aligned}
\therefore y_x^{\prime} &= y_u^{\prime} \times u_x^\prime \
&= 6u^5 \times 2\
&= 12(2x+1)^5
\end{aligned}
$$
例4：求 $f(x) = \cos x$ 的导函数
$$
\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} -x) \
\because y = \sin u ,u = \frac{\pi}{2} - x\
\begin{aligned}
\therefore y_x^{\prime} &= y_u^{\prime} \times u_x^\prime \
&= -\cos u\
&= -\cos (\frac{\pi}{2} - x) \
&= -\sin x
\end{aligned}
$$
例5：求 $f(x) = a^x(a\in \R)$ 的导函数。
我们考虑怎么把 $a,e$ 建立关系，有 $a = e ^{\ln a}$
$$
a^x = e^{x\ln a} \
\because y = e ^ u ,u = x\ln a\
\begin{aligned}
\therefore y_x^{\prime} &= y_u^{\prime} \times u_x^\prime \
&= \ln a \times e ^{x\ln a}\
&= \ln a \times a^x
\end{aligned}
$$
特别地，当 $a = e$ 时候 $f(x)$ 导函数等于它本身。
注意这里我们是复合的函数，内外有两层，类比我们判断单调性的时候，我们注意不能犯错。
导数的四则运算
我们发现，如果我们想求一个 $f(x) = (ax^2+bx+c)^x$ ，单靠上面的几个工具我们是无法简单完成的。
加减法
$[f(x) + g(x)]^{\prime} = f^{\prime}(x) + g^{\prime}(x)$
乘法
$[f(x)\times g(x)]^{\prime} = f(x)^{\prime}\times g(x) + f(x) \times g(x)^{\prime}$
简单好记：两个 $f\times g$，第一个导在 $f$，第二个导在 $g$
除法
$$
\begin{aligned}
\frac{f(x)}{g(x)}^{\prime} &= [f(x)\times \frac{1}{g(x)}]^{\prime} \
&= f(x)^{\prime}\times \frac{1}{g(x)} + f(x)\times {\frac{1}{g(x)}}^{\prime} \
&= \frac{f(x)^{\prime}}{g(x)} - \frac{f(x)g(x)^{\prime}}{g^2(x)} \
&= \frac{f(x)^{\prime}{g(x)} - f(x)g(x)^{\prime}}{g^2(x)}
\end{aligned}
$$
乘方
${[f(x)^n]}^{\prime} = n [f^{n-1}(x)]\times f^{\prime}(x)$
例题练习
一定要注意，对一个函数导出来之后的函数依然会结合函数性质（奇函数，偶函数，极值点，零点）进行考察，前两种可以辅助判断，后面两种我们在接下来会讨论到。
例6（较为繁杂的复合函数）：求 $f(x) = x - \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}$ 的导函数。
这题要注意的点是后边的两个三角函数是复合函数，我们不能直接暴力开导。
$$
g(x) = \sin\frac{x}{2},h(x) = \cos\frac{x}{2}\
g^{\prime}(x) = \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2},h^{\prime}(x) = -\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} \
f^{\prime}(x) = 1 - \frac{1}{2}(\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}) = 1 - \frac{1}{2}\cos x\
$$
例7（解析式里有导数类型）：已知 $f(x) = 3x^3 - 2f^{\prime}(-1)x + 5$，求 $f(-2),f^{\prime}(-2)$
这类题的思路肯定是让我们先求出 $f^{\prime}(x)$ ，如果我们求出了 $f(x)$ 就好说了。
所以我们直接开导：
$$
f^{\prime}(x) = 9x^2 - 2f^{\prime}(-1)\
\text{let } x = -1.\
f^{\prime}(-1) = 9 - 2f^{\prime}(-1)\
f^{\prime}(-1) = 3. \text{代入上式得到 } f^{\prime}(x) = 9x^2 - 6. \
f(x) = 3x^3 - 6x + 5
$$
带入就可以得到了。
例8（求切线方程类）：求 $f(x) = e^x(x^2-x-1)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程。
这题主要考察对导数图像意义的理解，直接点斜式会缺一个斜率，我们考虑 $f^{\prime}(x)$ 代表的是切线斜率，然后就做完了。
例9（相切类）：$f(x) = x + 1,g(x) = \ln x + a$ 相切，求 $a$ 的值。
凡是遇到相切问题，一定要先设切点。导数是处理切点问题的有力工具
碰到这种我们首先要做的就是先把切点 $(x_0,y_0)$ 设出来，我们考虑满足以下条件：
$y_0 = x_0 + 1,y_0 = \ln x + a$
我们考虑是 $f(x)$ 的切线，那么 $f^{\prime}(x_0) = 1$，我们考虑这是条公切线，显然也有 $g^{\prime}(x_0) = 1$
于是我们先考虑对 $g$ 导一下，就有 $g^{\prime}(x) = \frac{1}{x}$ 这样我们反解出 $x_0 = 1,y_0 = 2$，带入第二个得到 $a = 2$
例9.5：求 $f(x) = x^x$ 的导函数。
法1：
$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(x) &= x^x\
&= e^{x \ln x}\
&= (1 + \ln x) x^{x}
\end{aligned}
$$
和例6有异曲同工之妙。
法2：
处理指数问题，我们同样可以运用取对数的思想，取完对数我们两边同时求导。
$f(x) = \ln y$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 是符合函数，也就是 $\ln y \times \frac{dy}{dx}$
$$
\ln y = x \ln x \
\frac{1}{y}\times \frac{dy}{dx} = 1 + \ln x\
\frac{dy}{dx} = x^x (1 + \ln x)
$$
上边两种的思想都是对复合函数求导，本质相同。
例10:
一些好玩的：研究物理中匀加速运动里 $s,v,a$ 的关系。
我们有如下公式：
$$
s = v_0t + \frac{1}{2}at^2\
v = s^{\prime}_t = v_0 + at\
a = v^{\prime}_t = a\
$$
也就是说我们有 $v = \frac{ds}{dt},a = \frac{dv}{dt}$。我们可以给出一个新的定义：
我们称 $v$ 为 $s$ 的一阶导数，$a$ 为 $s$ 的二阶导数。
从物理意义上来说：一阶导数的物理意义：切线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率。
二阶导数的物理意义：函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）。
利用导数研究函数性质
单调性
我们首先研究单调性，这也是导数的强项。
一般来说，我们有 $f^{\prime}(x) = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} > 0$ 在某个区间 $(l,r)$（注意此处根据极限一定需要是开区间）成立，则称 $f(x)$ 在 $[l,r]$ 上单调递增。同理，如果 $f^{\prime}(x) < 0$，则称 $f(x)$ 在 $[l,r]$ 上单调递减。
从几何角度考虑，切线的斜率为正/负反映了函数增长的整个趋势。有了导数，我们就有了这个强有力的判断函数单调性的工具。
接下来我们考虑导数的零点实际上发生了什么？它实际上有两种可能：
- 单调性发生了改变
- 分段函数中相等的点
那么我们实际做题中，我们尽量都使用大于等于 $0$ 的判断方法。这样的好处就是避免了很多麻烦，对于分段函数我们直接分段求导就行。
例11：讨论 $f(x) = x ^3(x \in \R)$ 的单调性。
$$
f^{\prime}(x) = 3x^2 \geq 0,x \in \R \
$$
当且仅当 $x = 0$ 时有 $f^{\prime}(x) = 0$.
故 $f(x)$ 在 $\R$ 上递增。
要注意的是，导函数大于 $0$ 可以推出 $f(x)$ 递增，但是反过来不能。
通过判断单调性，我们可以研究出函数的图像从而方便我们进行进一步研究。
例12:求函数 $f(x) = x^3-3x^2-9x+5$ 的单调区间。
首先考虑定义域，显然 $x \in \R$.
那么求导一下。
$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(x) &= 3x^2-6x-9\
&= 3(x^2-2x-3)
\end{aligned}
$$
我们可以通过解不等式/列表的方法来做，但是更直观的是画出导函数的草图。标上点就可以，看图说话.jpg。大于 $0$ 的部分就单调递增，小于 $0$ 的部分就单调递减。最后记得写开区间。
例13:求函数 $f(x) = \frac{e^x}{x-a}(a<0)$ 的单调区间。
首先考虑定义域，显然有 $x \not ={}= a$.
老套路，开导。
$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(x) &= \frac{e^x(x-a-1)}{(x-a)^2} \
\end{aligned}
$$
对于这个函数来说，我们实际上要关心的只有 $x - a -1$ 这个东西，注意 $x \not = a$,我们对三段分开来讨论：$(-\infty,a),(a,a+1),(a+1,+\infty)$.
导数最强的一点就在于，不断把困难的函数问题化为了较为简单的函数问题，方便我们进行研究。
例14:函数 $f(x) = \ln x- \frac{1}{2} ax^2 - 2x(a\not = 0)$ 存在单调递减区间，求 $a$ 的范围。
首先考虑定义域，显然有 $x > 0$
$$
f^{\prime}(x) = \frac{1}{x} - ax -2 = \frac{-ax^2-2x + 1}{x}
$$
分母正负性确定，考虑分子在定义域的时候正负性。分类讨论：
- $a > 0$，开口向下，对称轴为 $-\frac{1}{a} < 0$，总存在单调递减区间。
- $a < 0$，开口向上，对称轴为 $-\frac{1}{a} > 0$，需要单调递减就需要 $\Delta = 4 + 4a> 0$,所以 $a \in (-1,0)$
这类问题通用解决步骤：
- 观察函数定义域
- 对函数求导
- 画出函数草图判断正负区间
极值点
我们考虑一个函数在最值的时候，导函数为 $0$。但是这个并不是充要的，所以我们提出一个更强的性质：若 $f^{\prime}(x_0) = 0$ 且 $f^{\prime}(x_0)$ 的符号在 $x_0$ 两侧改变，那么 $x_0$ 就是函数的一个极值点。
从图上看更加形象，就是 $f^{\prime}(x)$ 的图像穿过 $x$ 轴的点，这就是单调性改变的点。我们把最大值/最小值所对应的点，称为极大值/极小值点。由上往下穿过 $x$ 轴的点称为极大值点，由下往上穿过的点称为最小值点。
要注意的是，极值点刻画的是在他这个点附近的点的性质，而不是全局的性质，所以我们不能说极大值点就一定大于极小值点。
例15：求 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1(x\in \R)$ 的最值。
$f^{\prime}(x) = 6x^2 - 6x = 6(x^2-x)$
那么图像中，$f^{\prime}(0) = 0,f^{\prime}(1) = 0$，带进去算一下就能得出最值。
如果给你限定了一个区间呢？
那么还要根据单调区间来进行判断，发现会不会除了已知的极值点之外产生新的值（区间端点），这种需要再进行比较。
通过这个，我们可以整很多有趣的活（讨论复合函数单调性，偶函数奇函数导来导去）。