离散数学第10章-群与环
严肃紧急学习
半群、独异点与群的定义
定义10.1
- 设 $V=<S, ∘ >$ 是代数系统，$∘$ 为二元运算，如果 $∘$ 运算是可结合的，则称 $V$ 为半群.
e.g.$V = <\R,+>$ 为半群（实际上它也是一个阿贝尔群）
- 设 $V=<S, ∘ >$ 是半群，若 $e∈S$ 是关于 $∘$ 运算的单位元，则称 $V$ 是含幺半群，也叫做独异点. 有时也将独异点 $V$ 记作 $V=<S, ∘, e>$.
e.g.$V = <\R,+,0>$ 为独异点
- 设 $V=<S,∘>$ 是独异点，$e\in S$ 关于 $∘$ 运算的单位元，若对任意 $a\in S,a^{-1}\in S$，则称 $V$ 是群. 通常将群记作 $G$.
e.g.$V = <\R,+>$ 为群。
省流：半群是最小的定义，运算满足结合律即可。独异点多一个单位元的约束，群多了一个逆元也要在定义域内的约束。
定义10.2
- 若群 $G$ 是有穷集，则称 $G$ 是有限群，否则称为无限群. 群 $G$ 的基数称为群 $G$ 的阶，有限群 $G$ 的阶（群中元素个数）记作 $|G|$ .
- 只含单位元的群称为平凡群.
- 若群 $G$ 中的二元运算是可交换的，则称 $G$ 为交换群或阿贝尔 (Abel) 群.
e.g. $<\Z,+>$ 是无限群，$<\Z_n,+>$ 是 $n$ 阶有限群，Klein 四元群是 4 阶群。
$G$ 为群，若 $|G| > 1$，则 $G$ 中不存在运算 $∘$ 的左（右）零元.
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